Le chêne dépassera-t-il le bouleau ?

Dans le cadre d’un projet de biodiversité, les éco-délégués ont planté deux arbres dans la cour de leur lycée : un bouleau, connu pour sa croissance rapide mais limitée et un chêne, qui pousse lentement au début mais peut atteindre une grande taille avec le temps. Ils souhaitent savoir au bout de combien d’années le chêne dépassera le bouleau en hauteur.

On modélise la hauteur des arbres (en mètre) en fonction du temps \(x\), exprimé en années depuis la plantation, par les fonctions suivantes :

• hauteur du bouleau : \(f(x) = 10 \times \left(1 - e^{-0{,}3x}\right)\) ;

• hauteur du chêne : \(g(x) = \cfrac{30}{1 + 20 \cdot e^{-0{,}1x}}\).

Problématique : à partir de combien d’années le chêne dépassera-t-il le bouleau ?

Coup de pouce : une perle est là pour vous aider à tracer les fonctions si besoin !